Математическая статистика — это наука о математических методах систематизации и использования статистических данных для научных и практических выводов. Во многих своих разделах математическая статистика опирается на теорию вероятностей, позволяющую оценить надежность и точность выводов, делаемых на основании ограниченного статистического материала (напр., оценить необходимый объем выборки для получения результатов требуемой точности при выборочном обследовании).
В теории вероятностей рассматриваются случайные величины с заданным распределением или случайные эксперименты, свойства которых полностью известны. Предмет теории вероятностей — свойства и взаимосвязи этих величин (распределений).
Но часто эксперимент представляет собой черный ящик, который дает лишь несколько результатов, по которым необходимо сделать вывод о свойствах самого эксперимента. Наблюдатель имеет набор числовых (или их можно сделать числовыми) результатов, полученных повторением одного и того же случайного эксперимента в одинаковых условиях.
При этом возникают, например, следующие вопросы: Если мы наблюдаем одну случайную величину — как по набору ее значений в нескольких опытах сделать как можно более точный вывод о ее распределении?
Примером такой серии экспериментов является социологическое исследование, набор экономических показателей или, наконец, последовательность гербов и решек с тысячей подбрасываний монеты.
Все вышеперечисленные факторы определяют актуальность и значимость темы работы на текущем этапе, направленной на углубленное и полное изучение основных понятий математической статистики.
В связи с этим целью данной работы является систематизация, накопление и закрепление знаний о понятиях математической статистики.
1. Предмет и методы математической статистики
Статистика (stato — состояние ) — это совокупность данных наблюдений, статистическая совокупность — это, как правило, количественная оценка исследуемого явления, собранная из разных источников или в одном месте в разное время (числовые значения).
Практически любое статистическое исследование базируется на некоторой выборке, состоящей из случайных величин (CВ).
Различаются случайные величины дискретного (прерывного) и непрерывного типа. Возможные значения дискретных СВ могут быть заранее перечислены. Допустимые значения непрерывных величин не могут быть перечислены заранее и постоянно заполняют определенный пробел, конечный или бесконечный. Кроме того существует СВ смешанного типа. Далее рассматриваются только непрерывные и дискретные величины. Под законом распределения RV понимается взаимосвязь, устанавливающая взаимосвязь между возможными наборами значений случайной величины и соответствующими вероятностями.
Современные проблемы теории вероятностей и математической статистики: ...
... функций концентрации сумм независимых случайных величин. Используя эти результаты, он решил одну старую ... вероятностей и математической статистики, в частности, теория малых уклонений, гауссовская аппроксимация сверток, распределение функционалов от диффузий, асимптотический анализ новых статистических ... гауссовских случайных процессов Грина без учета тренда высокого порядка. Для некоторых значений ...
Закон распределения дискретного SV представляет собой таблицу соответствия возможных значений и вероятностей, называемую рядом распределения. Графическое представление — полигон, гистограмма. Каждое из значений Х= xi дискретной СВ возможно, но не достоверно, поэтому может принять каждое из них с некоторой вероятностью pi.=Р(Х=xi).Сумма вероятностей всех возможных значений равна единице. условие нормировки Для непрерывных СВ величин табличное представление оказывается невозможным, поэтому, применяется вероятность не отдельного значения события , а некоторого интервала значений, т.е. применяется функция распределения . Эту функцию иногда называют кумулятивной функцией распределения или кумулятивным законом распределения. Функция: производная функции распределения характеризует плотность распределения. С условием нормализации Кривая, представляющая плотность распределения случайной величины, называется кривой распределения.
Генеральной совокупностью — называется совокупность, включающая в себя все возможные значения данных CВ. Такой набор практически сложно создать из-за его бесконечного объема, поэтому чаще всего статистика работает с частью генеральной совокупности, которую называют выборкой. Под повторной случайной выборкой объема n понимается набор независимых друг от друга случайных величин. Под случайной величиной понимается величина, которая в результате опыта может принимать то или иное значение, заранее неизвестно — какое.
Повторная случайная выборка — это математическая модель независимых измерений, выполняемых в одних и тех же условиях. В противном случае выборка называется бесповторной.
Задачи статистических наблюдений :
- Учет явлений (как правило в количественном измерении) ;
- на основе которого проводится деление (обобщение) однородных явлений;
- при любых статистических исследованиях обязательно должно быть достаточно много наблюдений (испытаний, опытов);
- это необходимо для того, чтобы получить достоверные результаты ;
1. Аккуратная регистрация наблюдений (опытов) ;
2. Строгое соблюдение размеренности величин, соответствие точности.
3. При обработке выборочных наблюдений статистическими методами должны быть получены результаты, соответствующие всей генеральной совокупности.
Целью статистических исследований является :
- анализ существующего положения ;
- выявление тенденций ;
- прогнозирование на будущий период наблюдаемых показателей.
Математическая статистика — наука о математических методах анализа данных, полученных при проведении массовых наблюдений (измерений, опытов).
Математическая статистика и её роль в медицине и здравоохранении
... распределения исследуемых характеристик. А медицинская статистика (синоним: санитарная статистика, статистика в медицине и здравоохранении, медико-санитарная статистика, статистический метод в медицине и здравоохранении) -- это отрасль статистики, изучающая явления и процессы в области здоровья населения и здравоохранения. математический статистика ...
В зависимости от математической природы конкретных результатов наблюдений статистика математическая делится на статистику чисел, многомерный статистический анализ, анализ функций (процессов) и временных рядов, статистику объектов нечисловой природы. Существенная часть математической статистики основана на вероятностных моделях. Выделяют общие задачи описания данных, оценивания и проверки гипотез. Рассматривают и более частные задачи, связанные с проведением выборочных обследований, восстановлением зависимостей, построением и использованием классификаций (типологий) и др.
Для описания данных строятся таблицы, диаграммы и другие визуальные представления, такие как поля корреляции. Вероятностные модели обычно не применяются. Некоторые методы описания данных основаны на передовой теории и возможностях современных компьютеров. К ним, в частности, относятся кластерный анализ, направленный на выявление групп похожих объектов, и многомерное масштабирование, которое позволяет визуально представлять объекты на плоскости, минимизируя расстояния между ними.
Методы оценки и проверки гипотез основаны на вероятностных моделях генерации данных. Эти модели делятся на параметрические и непараметрические. В параметрических моделях предполагается, что изучаемые объекты описываются функциями распределения, зависящими от небольшого числа (1-4) числовых параметров. В непараметрических моделях функции распределения предполагаются произвольными непрерывными. В статистике математической оценивают параметры и характеристики распределения (математическое ожидание, медиану, дисперсию, квантили и др.), плотности и функции распределения, зависимости между переменными (на основе линейных и непараметрических коэффициентов корреляции, а также параметрических или непараметрических оценок функций, выражающих зависимости) и др. Используют точечные и интервальные (дающие границы для истинных значений) оценки.
В математической статистике существует общая теория проверки гипотез и большое количество методов, посвященных проверке конкретных гипотез. Рассматривают гипотезы о значениях параметров и характеристик, о проверке однородности (то есть о совпадении характеристик или функций распределения в двух выборках), о согласии эмпирической функции распределения с заданной функцией распределения или с параметрическим семейством таких функций, о симметрии распределения и др.
Большое значение имеет раздел математической статистики, связанный с проведением выборочных обследований, со свойствами различных схем выборки и построением адекватных методов оценки и проверки гипотез.
Задачи восстановления зависимостей активно изучаются более 200 лет, с момента разработки К. Гауссом в 1794 г. метода наименьших квадратов. В настоящее время наиболее актуальны методы поиска информативного подмножества непараметрических переменных и методов.
Математические методы в статистике основаны либо на использовании сумм (на основе Центральной Предельной Теоремы теории вероятностей) или показателей различия (расстояний, метрик), как в статистике объектов нечисловой природы. Строго обоснованы обычно лишь асимптотические результаты. Сегодня компьютеры играют важную роль в математической статистике. Они используются как для расчетов, так и для имитационного моделирования (в частности, в методах размножения выборок и при изучении пригодности асимптотических результатов).
Математическая статистика и её роль в медицине и здравоохранении (2)
... о функции распределения F(x) исходной генеральной совокупности. Оценка параметров популяции: точечные оценки Нас часто интересует оценка ... бессмысленно объединять, например, социально-экономическую статистику, физическую статистику, звездную статистику и т. п. в ... на рассмотрении статистических данных по определенным совокупностям объектов, называется статистикой. Статистический метод применяется ...
2. Основные понятия математической статистики
Пространство элементарных событий — это совокупность результатов эксперимента.
Элементарное событие — это любой элемент элементарного пространства событий.
Любое подмножество элементарного пространства событий называется событием.
Общий набор — это достаточно большое, возможно, бесконечное подмножество элементарных событий.
Случайной величиной называют функцию от элементарного события.
Эксперимент — это функция, которая принимает значение в пространстве элементарных событий.
Статистическая модель — это набор законов, которые регулируют процедуру эксперимента.
Случайной выборкой1 или просто выборкой1 объема n называется набор некоторого числа элементов генеральной совокупности, наблюденных при серии из n одинаковых экспериментов
Выборкой2 объема n называется набор 1,…,n случайных величин, определенных на натуральных числах 1,…,n , k -я с.в. принимает значение исхода ki- го эксперимента на числе i , при условии, что все эксперименты одинаковы.
Статистикой называется любая измеримая функция от выборки.
Функция правдоподобия — это плотность распределения выборки2 как n-мерной случайной величины.
Вариационный ряд, распределение порядковых статистик. Эмпирические Квантили ГММЕ 398.
х1,…,хn х(k)
Если х1,…,хn — независимые, одинаково распределенные случайные величины, что распределение к-й порядковой статистики задается следующей формулой:
где B(a,b) — плотность бета распределения.
x(1),…,x(n).
Эмпирическая функция распределения, ее св-ва, как функции распределения и как случайного элемента (распределения и числовые характеристики) СКТ 191.
Эмпирическим распределением называется распределение, которое каждому элементу выборки1 х1,…,хn ставит в соответствие вероятность1/n.
Эмпирическим распределением n для выборки х1,…,хn называется функция, по определению равная
где равно 1, если хk принадлежит В, и нулю иначе.
Эмпирической функцией распределения называется функция
Fn(x)=(-,x).
Математическое ожидание эмпирической функции распределения M (x) равно среднему арифметическому значений х1,…,хn.
Дисперсия эмпирической функции распределения
Выборочным моментом порядка k называется значение
Сходимость эмпирической функции распределения. Теорема Гливенко — Кантелли (БМС 22).
Теорема. Для эмпирического распределения
и распределения генеральной совокупности
Теорема Колмогорова. Доказательство независимости статистики Колмогорова от вида непрерывной функции распределения — СКТ 209 ГММЕ 173.
Статистикой Колмогорова для непрерывной функции распределения генеральной совокупности F(x) и — эмпирической функция распределения Fn(x) , построенной по выборке х1,…,хn , называется функция
Теорема. Если F(x) непрерывна, то распределения статистики Колмогорова Dn не зависит от F(x).
Условные математические ожидания и условные распределения. Св-ва условных мат. ожиданий. Аналоги формул полной вероятности и формулы Байеса для мат. ожиданий ГММЕ 173 ШВ 91.
Условным законом распределения д.с.в. при заданном значении д.с.в. =хk называется набор условных вероятностей
l=1,…,m.
Условным математическим ожиданием д.с.в. при заданном значении д.с.в. =хk называется сумма
Имеет место равенство M [M( )] = M. М (Р ( = yl| =xk)) = P( = yl).
Достаточные статистики. Теорема Неймана-Фишера (критерий достаточности) СКТ 221.
Достаточной называется такая статистика t(x) , что для случайной величины с распределением p(x,) условное распределение P( | t() = t0) не зависит от параметра (то есть через нее можно определить значение параметра ).
Теорема. Статистика t(x) с распределением p(x,)=g(t(x);)h(x) является достаточной.
Статистические оценки. Св-ва оценок: состоятельность, несмещенность, эффективность. Задача оптимального статистического оценивания СКТ 215.
(x1,…,xn)
Несмещенной называется такая оценка , что ее мат. ожидание равно .
Состоятельной называется последовательность оценок , сходящаяся по вероятности к .
Эффективная оценка такова, что ее дисперсия минимальна в последовательности оценок .
Улучшение оценок с помощью достаточных статистик. Теорема Колмогорова Блекуэла Рао ВДВ СКТ 222.
Теорема Колмогорова Блекуэла Рао. Пусть t(х) — достаточная статистика семейства распределений p(x,) , а — несмещенная оценка параметра с конечной дисперсией для некоторой выборки (x1,…,xn) . Тогда условное мат. ожидание при фиксированном t(х) будет несмещенной оценкой с дисперсией не превосходящей дисперсию .
Полные достаточные статистики и их использование для нахождения несмещенных оценок с минимальной дисперсией СКТ 222 БМС 142.
Полным семейством распределений G, зависящих от к-мерного параметра называется такое семейство G, что из равенства нулю для любой измеримой функции y(s), следует , что y(s)=0.
Полной называется статистика с полным семейством распределений G, индуцированным распределением генеральной совокупности G.
Теорема. Для полной достаточной статистики S и оценки , оценка s=M(|S) является единственной эффективной оценкой.
Неравенство Крамера-Рао-Фреше. Эффективные оценки в регулярном случае. Информация Фишера и ее св-ва СКТ 224.
Информацией Фишера для плотности p(x, ) называют математическое ожидание
Неравенство Рао-Крамера. Для семейства плотностей p(x, ) и оценки с математическим ожиданием g() таких, что и , имеет место неравенство
Эффективностью оценки с математическим ожиданием g() называется отношение
Эффективной называется оценка, эффективность которой равна 1.
Метод моментов св-ва оценок СКТ 228.
к к=1,…,r,
mk0=mk(1,…,r),
где , а mk — моменты порядка к для независимой выборки с плотностью p(x,1,…,n).
к к=1,…,r,
Асимптотические св-ва статистических оценок. Состоятельность, асимптотическая эффективность, асимптотическая нормальность СКТ 227 ВДВ 221.
Асимптотически эффективностью оценки n называется конечным предел
Оценка называется асимптотически эффективной, если ее асимптотическая эффективность равна единице.
Оценка называется асимптотически нормальной, если она в пределе сходится к нормальному распределению.
Состоятельность и асимптотическая нормальность эмпирических моментов и функций от эмпирических характеристик (БМС 40).
Теорема. Пусть F0 — функция распределения генеральной совокупности и g, Sn таковы, что
где h — дифференцируема в точке , , то , где — н.р.с.в. с параметрами 0 и
Асимптотические св-ва оценок максимального правдоподобия. Метод максимального правдоподобия. Оптимальные св-ва оценок СКТ 229 ГММЕ 541 ВДВ 221 ВДВ 249.
Оценкой максимального правдоподобия называется оценка, обращающая в максимум функцию правдоподобия:
- L(x;
- =maxL(x; ), или
1<<2,
Основные понятия общей теории статистических решений: производство решений, функция потерь и функция риска. Байесовский и минимальный подходы к задачам статистических решений (БМС 120).
Байесовский подход состоит в представлении параметра как случайной величины с некоторой плотностью q(t), называемой априорной.
Байесовской оценкой ~, минимизирующей M(-~)2 является функция
где — апостериорное распределение , , t(x) — функция правдоподобия, — мера.
Минимальной называется такая оценка ~, что для любой другой оценки
Байесовские оценки при квадратичной функции потерь. Априорный и апостериорный риск. Сравнение с эффективными оценками. Нормальное распределение в Rn. Эквивалентность различных определений и св-ва. ГММЕ 341 СКТ 164.
Нормально распределенным называется такой случайный вектор , что его характеристическая функция равна
где, а — вектор, а В — симметрическая матрица положительно определенной КВАФ. Любое линейное преобразование нормально распределенного случайного вектора также является нормальным случайным вектором.
Теорема. Для того чтобы вектор был нормально распределен, необходимо и достаточно, чтобы имело место представление
где i — набор нормально распределенных н.о.р.с.в., g — некоторая матрица, M=a.
Распределение хи квадрат. Стьюдента, Фишера и их использование в мат. статистике СКТ 169.
|
Распределение |
Формула плотности |
E |
||
|
Геометрическое xQ |
p(x)=(1-)x |
(1-)/ |
(1-)/2 |
|
|
Пуассона xQ |
||||
|
Нормальное xR |
a |
2 |
||
|
Гамма x>0 |
||||
|
Хи квадрат с k степенями свободы х0 |
||||
|
Стьюдента с k степенями свободы xR |
||||
|
Фишера х0 |
||||
Независимость среднего арифметического и среднего квадратичного для независимых нормально распределенных случайных величин ГММЕ 413 СКТ 237.
s2(n-1)/ 2
Понятие доверительного интервала — интервальной статистической оценки и его хар-ки. Точные и асимптотические доверительные интервалы СКТ 234.
Доверительным интервалом для выборки с распределением p(x, ) называется такой отрезок, что принимает значение из этого отрезка с вероятностью 1-, называемой доверительной вероятностью.
Асимптотическим доверительным интервалом уровня называется такой интервал (1, 2), что
Доверительные интервалы для параметров нормального распределения СКТ 236.Доверительные интервалы для параметров биномиального распределения СКТ 240.Проверка статистических гипотез. Общие понятия: простые и сложные статистические гипотезы, критерии, ошибки 1го и 2го рода, размер, мощность критерия СКТ 197.
Статистической гипотезой называются предположения о значении параметра для выборки с распределением p(x, ).
Простой называется статистическая гипотеза, состоящая в том, что =0 .
Сложной называется статистическая гипотеза, предполагающая принадлежность к некоторому мн-ву 0 .
Ошибкой первого рода называется опровержение верной гипотезы.
Ошибка второго рода — это принятие ложной гипотезы с существующей истинной.
Критерий — правило, по которому гипотеза Н будет отвергнута, если случайная величина принимает значение из критического мн-ва S.
S критерием
Уровнем значимости называется вероятность ошибки первого рода.
при истинном значении параметра
Оптимальным, или наиболее мощным называется критерий S для которого
Проверка двух простых гипотез. Лемма Неймана-Пирсона. Критерий отношения правдоподобия как наиболее мощный критерий ГММЕ 541.
критерием называется такой критерий, согласно которому гипотеза Н отвергается, если некоторая бинарная случайная величина от выборки, принимающая свои значения с вероятностями и 1- соотв., принимает нулевое значение .
W(, 0)=, W(,1)
p(x,1)>cp(x,0),
Равномерно наиболее мощные критерии. Семейство распределений с монотонным отношением правдоподобия ГММЕ 571 580.
Равномерно наиболее мощным называется такой критерий, что для любых двух значений неизвестного параметра из множества их допустимых значений и не равных фиксированному 0 множество Х, определяемое соотношением (x, 1)c(x, 0) одно и тоже.
Критерий согласия. Критерий Колмогорова, критерий хи квадрат Пирсона СКТ 209 ГММЕ 368 453 488.
Критерий согласия — это критерий, который позволяет найти соответствие между распределением выборки и эмпирическим распределением.
n1/2 Dnk,
Теорема. Если F(x) непрерывна, то распределение статистики Dn не зависит от F(x).
2=vi2/npi
Критерий однородности различных выборок. Критерий Смирнова, критерий Стьюдента. Критерий независимости СКТ 211 ГММЕ 482.
Критерием Смирнова называется критерий, позволяющий проверять гипотезу о том, что две выборки х1…хn и у1…уm взяты из одного и того же распределения, основанный на том, что если их функции распределения F(x) и G(x) непрерывны и совпадают, то при n,m, n/mc 0<c<, случайная величина
где имеет тот же закон распределения, как и в критерии Колмогорова.
Критерием Стьюдента называется критерий, позволяющий проверять гипотезу о том, что две выборки х1…хn и у1… имеют одинаковую дисперсию, он основывается на рассмотрении отношения дисперсии двух эмпирических распределений. Если F=|D1/D2| принадлежит доверительному интервалу распределения Фишера, то гипотеза о равенстве дисперсии для двух выборок считается состоятельной.
Критерий однородности двух выборок c объемами n1, n2, разделенные на l групп с численностями m’i и m»i соотв. I=1,…,l состоит в вычислении значения и сравнивания его с табличным значением хи квадрат для соотв. Уровня значимости.
3. Основные понятия выборочного метода
Рассматривают два типа выборок:
- повторные, если наблюдения проводятся при повторяющихся условиях и при этом случайные величины Xi (i=1,2,…, n) независимы и одинако распределены;
- бесповторные, если условие повторности нарушается, т.е.
невыпоняется хотя бы одно из условий независимости и одинаковой распределенности случайных величин Xi (i=1,2,…, n).
Весь набор значений, которые могут принимать наблюдаемые значения Xi, называется генеральной совокупностью, и ее числовые характеристики являются общими, в отличие от выборки, рассчитанной на основе реализации выборки.
Вариационным рядом — называется ранжированная (упорядоченная по возрастанию) совокупность дискретных значений и соответствующая каждому значению частота. Вариационный ряд может быть дискретным и интервальным (сгруппированным).Вариационный ряд можно считать распределенным признаком. Сгруппированный набор вариаций состоит не из значений, специфичных для популяции, а из некоторых диапазонов этих значений, соответствующих каждому частотному диапазону.
Пусть — случайная величина, наблюдаемая в случайном эксперименте. Предполагается, что вероятностное пространство задано (и не будет нас интересовать).
Будем считать, что, проведя раз этот эксперимент в одинаковых условиях, мы получили числа , , , — значения этой случайной величины в первом, втором, и т.д. экспериментах. Случайная величина имеет распределение, которое нам частично или полностью неизвестно.
Рассмотрим подробнее набор , называемый выборкой.
В серии уже произведенных экспериментов выборка — это набор чисел. Но если повторить эту серию экспериментов еще раз, то вместо этого набора мы получим новый набор чисел. Вместо числа появляется другое число: одно из значений случайной величины . То есть (и , и , и т.д.) — переменная величина, которая может принимать те же значения, что и случайная величина , и так же часто (с теми же вероятностями).
Поэтому до опыта — случайная величина, одинаково распределенная с , а после опыта — число, которое мы наблюдаем в данном первом эксперименте, т.е. одно из возможных значений случайной величины .
Выборка объема — это набор из независимых и одинаково распределенных случайных величин («копий »), имеющих, как и , распределение .
Что значит «по выборке сделать вывод о распределении»? Распределение характеризуется функцией распределения, плотностью или таблицей, набором числовых характеристик — , , и т.д. На основе выборки вы должны уметь строить приближения для всех этих характеристик.
4. Выборочное распределение
Рассмотрим реализацию образца по элементарному результату: набору чисел , , . На подходящем вероятностном пространстве введем случайную величину , принимающую значения , , с вероятностями по (если какие-то из значений совпали, сложим вероятности соответствующее число раз).
Таблица распределения вероятностей и функция распределения случайной величины выглядят так:
Распределение количества называется эмпирическим или выборочным распределением. Вычислим математическое ожидание и дисперсию величины и введем обозначения для этих величин:
Точно так же вычислим и момент порядка
В общем случае обозначим через величину
Если при построении всех характеристик, которые мы ввели, мы рассматриваем выборку ,, как набор случайных величин, то эти же характеристики — ,,,, — станут случайными величинами. Эти характеристики выборочного распределения используют для оценки (приближения) соответствующих неизвестных характеристик истинного распределения.
Причина использования характеристик распределения для оценки характеристик истинного распределения (или ) — в близости этих распределений при больших .
Рассмотрим, для примера, подбрасываний правильного кубика. Пусть — количество очков, выпавших при -м броске, . Предположим, что единица в выборке встретится раз, двойка — раз и т.д. Тогда случайная величина с вероятностью примет значения 1, 6 соответственно. Но эти пропорции с ростом приближаются к согласно закону больших чисел. То есть распределение по размерам в некотором смысле приближается к истинному распределению количества очков, которые они теряют, когда бросается правильный кубик.
Мы не будем уточнять, что подразумевается под близостью выборки и истинным распределением. В следующих абзацах мы более подробно рассмотрим каждую из представленных выше функций и исследуем ее свойства, в том числе ее поведение при увеличении размера выборки.
5. Эмпирическая функция распределения, гистограмм
Так как неизвестное распределение может быть описано, например, его функцией распределения, мы строим «оценку» для этой функции по выборке.
Определение 1.
Эмпирической функцией распределения, построенной по выборке объема , называется случайная функция , при каждом равная
Напоминание: Случайная функция
называется индикатором события . Для каждого из них это случайная величина, имеющая распределение Бернулли с одним параметром . почему?
Другими словами, для любого значения, равного истинной вероятности того, что случайная величина окажется ниже, она оценивается по доле элементов в выборке, которые ниже .
Если элементы выборки , , упорядочить по возрастанию (на каждом элементарном исходе), получится новый набор случайных величин, называемый вариационным рядом:
Здесь
Элемент ,, называется ым членом ряда вариаций или порядковой статистикой.
Пример 1.
Выборка:
Вариационный ряд:
|
Рис. 1. Пример 1 |
|
Эмпирическая функция распределения имеет скачки в точках выборки, величина скачка в точке равна , где — количество элементов выборки, совпадающих с .
Можно построить эмпирическую функцию распределения по вариационному ряду:
Другой характеристикой распределения является таблица (для дискретных распределений) или плотность (для абсолютно непрерывных).
Эмпирическим или выборочным аналогом таблицы или плотности является так называемая гистограмма.
Гистограмма строится по группированным данным. Предполагаемую область значений случайной величины (или область выборочных данных) делят независимо от выборки на некоторое количество интервалов (не обязательно одинаковых).
Пусть , , — интервалы на прямой, называемые интервалами группировки. Обозначим для через число элементов выборки, попавших в интервал :
(1)
На каждом из интервалов строится прямоугольник, площадь которого пропорциональна . Общая площадь всех прямоугольников должна равняться единице. Пусть — длина интервала . Высота прямоугольника над равна
Полученная фигура называется гистограммой.
Пример 2.
Имеется вариационный ряд (см. пример 1):
Разобьем отрезок на 4 равных отрезка. в сегмент попали 4 элемента выборки, в сегмент — 6, в — 3 и 2 элемента выборки. Строим гистограмму (рис. 2).
На рис. 3 — тоже гистограмма для той же выборки, но при разбиении области на 5 равных отрезков.
|
Рис. 2. Пример 2 |
Рис. 3. Пример 2 |
||
Замечание 1.
В курсе «Эконометрика» утверждается, что наилучшим числом интервалов группировки («формула Стерджесса») является
Здесь — десятичный логарифм, поэтому , т.е. при увеличении выборки вдвое число интервалов группировки увеличивается на 1. Заметим, что чем больше интервалов группировки, тем лучше. Но если мы возьмем количество интервалов, скажем, в порядке, то по мере увеличения гистограммы мы не приблизимся к плотности.
Справедливо следующее утверждение:
Если плотность распределения элементов выборки является непрерывной функцией, то для таких существует точечная сходимость вероятности гистограммы относительно плотности.
Так что выбор логарифма разумен, но не является единственно возможным.
Заключение
Математическая (или теоретическая) статистика опирается на методы и понятия теории вероятностей, но решает в каком-то смысле обратные задачи.
Если мы наблюдаем одновременно проявление двух (или более) признаков, т.е. имеем набор значений нескольких случайных величин — что можно сказать об их зависимости? Есть она или нет? А если есть, то какова эта зависимость?
Часто можно сделать некоторые предположения о распределении, скрытом в «черном ящике», или о его свойствах. В этом случае по опытным данным требуется подтвердить или опровергнуть эти предположения («гипотезы»).
Следует помнить, что ответ «да» или «нет» может быть дан только с некоторой степенью достоверности, и чем дольше мы можем продолжать эксперимент, тем точнее могут быть выводы. Наиболее благоприятной для исследования оказывается ситуация, когда можно уверенно утверждать о некоторых свойствах наблюдаемого эксперимента — например, о наличии функциональной зависимости между наблюдаемыми величинами, о нормальности распределения, о его симметричности, о наличии у распределения плотности или о его дискретном характере, и т.д.
Итак, о (математической) статистике имеет смысл вспоминать, если имеется случайный эксперимент, свойства которого частично или полностью неизвестны, мы умеем воспроизводить этот эксперимент в одних и тех же условиях некоторое (а лучше — какое угодно) число раз.
Список литературы
[Электронный ресурс]//URL: https://management.econlib.ru/referat/osnovnyie-zadachi-matematicheskoy-statistiki/
1. Баумоль У. Экономическая теория и исследование операций. — М.; Наука, 1999.
2. Большев Л.Н., Смирнов Н.В. Таблицы математической статистики. М.: Наука, 1995.
3. Боровков А.А. Математическая статистика. М.: Наука, 1994
4. Коршунов Д.А., Чернова Н.И. Сборник задач и упражнений по математической статистике. Новосибирск: Изд-во Института математики им. С.Л.Соболева СО РАН, 2001.
5. Пехелецкий И.Д. Математика: учебник для студентов. — М.: Академия, 2003.
6. Суходольский В.Г. Лекции по высшей математике для гуманитариев. — СПБ Издательство Санкт-петербургского государственного университета. 2003
7. Феллер В. Введение в теорию вероятностей и ее приложения. — М.: Мир, Т.2, 1984.
8. Харман Г., Современный факторный анализ. — М.: Статистика, 1972.
